Question

（2012•湖南）某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺(tái)某產(chǎn)品的A，B，C三種部件的訂單，每臺(tái)產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為2，2，1（單位：件）．已知每個(gè)工人每天可生產(chǎn)A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．該企業(yè)計(jì)劃安排200名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件，生產(chǎn)B部件的人數(shù)與生產(chǎn)A部件的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為K（K為正整數(shù)）．
（1）設(shè)生產(chǎn)A部件的人數(shù)為x，分別寫出完成A，B，C三種部件生產(chǎn)需要的時(shí)間；
（2）假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時(shí)開工，試確定正整數(shù)K的值，使完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，并給出時(shí)間最短時(shí)具體的人數(shù)分組方案．

Answer 1

分析：（1）設(shè)完成A，B，C三種部件生產(chǎn)需要的時(shí)間分別為T₁（x），T₂（x），T₃（x），則可得T1(x)=

2×3000

6x

=

1000

x

，T2(x)=

2000

kx

，T3(x)=

1500

200-(1+k)x

；
（2）完成訂單任務(wù)的時(shí)間為f（x）=max{T₁（x），T₂（x），T₃（x）}，其定義域?yàn)?span id="sai12cr" class="MathJye">{x|0＜x＜

200

1+k

，x∈N+}，可得T₁（x），T₂（x）為減函數(shù)，T₃（x）為增函數(shù)，T₂（x）=

2

k

T₁（x），分類討論：①當(dāng)k=2時(shí)，T₂（x）=T₁（x），f（x）=max{T₁（x），T₃（x）}=max{

1000

x

，

1500

200-3x

}，利用基本不等式求出完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間；②當(dāng)k≥3時(shí)，T₂（x）＜T₁（x），T3(x)=

1500

200-(1+k)x

≥

375

50-x

記T (x)=

375

50-x

，為增函數(shù)，φ（x）=max{T₁（x），T（x）}f（x）=max{T₁（x），T₃（x）}≥max{T₁（x），T（x）}=max{

1000

x

，

375

50-x

}，利用基本不等式求出完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間；③當(dāng)k＜2時(shí)，k=1，f（x）=max{T₂（x），T₃（x）}=max{

2000

x

，

750

100-x

}，利用基本不等式求出完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間，從而問(wèn)題得解．

解答：解：（1）設(shè)寫出完成A，B，C三種部件生產(chǎn)需要的時(shí)間分別為T₁（x），T₂（x），T₃（x）
∴T1(x)=

2×3000

6x

=

1000

x

，T2(x)=

2000

kx

，T3(x)=

1500

200-(1+k)x

其中x，kx，200-（1+k）x均為1到200之間的正整數(shù)
（2）完成訂單任務(wù)的時(shí)間為f（x）=max{T₁（x），T₂（x），T₃（x）}，其定義域?yàn)?span id="u2p1ywj" class="MathJye">{x|0＜x＜

200

1+k

，x∈N+}
∴T₁（x），T₂（x）為減函數(shù)，T₃（x）為增函數(shù)，T₂（x）=

2

k

T₁（x）
①當(dāng)k=2時(shí)，T₂（x）=T₁（x），f（x）=max{T₁（x），T₃（x）}=max{

1000

x

，

1500

200-3x

}
∵T₁（x），T₃（x）為增函數(shù)，∴當(dāng)

1000

x

=

1500

200-3x

時(shí)，f（x）取得最小值，此時(shí)x=

400

9

∵44＜

400

9

＜45，f(44)=T1(44)=

250

11

，f(45)=T3(45)=

300

13

，f（44）＜f（45）
∴x=44時(shí)，完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，時(shí)間最短為f(44)=

250

11

②當(dāng)k≥3時(shí)，T₂（x）＜T₁（x），T3(x)=

1500

200-(1+k)x

≥

375

50-x

記T (x)=

375

50-x

，為增函數(shù)，φ（x）=max{T₁（x），T（x）}
f（x）=max{T₁（x），T₃（x）}≥max{T₁（x），T（x）}=max{

1000

x

，

375

50-x

}
∵T₁（x）為減函數(shù)，T（x）為增函數(shù)，∴當(dāng)

1000

x

=

375

50-x

時(shí)，φ（x）取得最小值，此時(shí)x=

400

11

∵36＜

400

11

＜37，φ(36)=T1(36)=

250

9

＞

250

11

，φ(37)=T (37)=

375

13

＞

250

11

∴完成訂單任務(wù)的時(shí)間大于

250

11

③當(dāng)k＜2時(shí)，k=1，f（x）=max{T₂（x），T₃（x）}=max{

2000

x

，

750

100-x

}
∵T₂（x）為減函數(shù)，T₃（x）為增函數(shù)，∴當(dāng)

2000

x

=

750

100-x

時(shí)，φ（x）取得最小值，此時(shí)x=

800

11

類似①的討論，此時(shí)完成訂單任務(wù)的時(shí)間為

250

9

，大于

250

11

綜上所述，當(dāng)k=2時(shí)，完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，此時(shí)，生產(chǎn)A，B，C三種部件的人數(shù)分別為44，88，68．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是確定分類標(biāo)準(zhǔn)，有難度．