已知以原點(diǎn)O為中心的橢圓的一條準(zhǔn)線方程為，離心率，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，
（Ⅰ）若C，D的坐標(biāo)分別是（0，），（0，），求|MC|·|MD|的最大值；
（Ⅱ）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），B是圓x2+y2=1上的點(diǎn)，N是點(diǎn)M在x軸上的射影，點(diǎn)Q滿足條件：，，求線段QB的中點(diǎn)P的軌跡方程。

解：（Ⅰ）由題設(shè)條件知焦點(diǎn)在y軸上，
故設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0），
設(shè)，
由準(zhǔn)線方程，
由，解得a=2，c=，從而b=1，
橢圓方程為；
又易知C，D兩點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，所以，
從而，
當(dāng)且僅當(dāng)|MC|=|MD|，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為（±1，0）時(shí)上式取等號(hào)，
的最大值為4。
（Ⅱ）如圖，設(shè)，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120116/201201161655562651184.gif">，
故，
，①
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120116/201201161655563121001.gif">，
，
所以，②
記P點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)镻是BQ的中點(diǎn)，
所以，
由因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120116/20120116165556437989.gif">，
結(jié)合①，②得

，
故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為。
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知以原點(diǎn)O為中心的橢圓的一條準(zhǔn)線方程為y=
4
3
3
，離心率e=
3
2
，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)
（Ⅰ）若C，D的坐標(biāo)分別是(0，-
3
)，(0，
3
)，求|MC|•|MD|的最大值；
（Ⅱ）如題（20）圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），B是圓x2+y2=1上的點(diǎn)，N是點(diǎn)M在x軸上的射影，點(diǎn)Q滿足條件：
OQ
=
OM
+
ON
，
QA
•
BA
=0、求線段QB的中點(diǎn)P的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知以原點(diǎn)O為中心的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為x=
5
5
，離心率e=
5
．
（Ⅰ）求該雙曲線的方程；
（Ⅱ）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-
5
，0)，B是圓x2+(y-
5
)2=1上的點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線右支上，|MA|+|MB|的最小值，并求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：重慶市高考真題 題型：解答題

已知以原點(diǎn)O為中心的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為，離心率e=，
（Ⅰ）求該雙曲線的方程；
（Ⅱ）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，B是圓x2+（y-）2=1上的點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線右支上，求|MA|+|MB|的最小值，并求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知以原點(diǎn)O為中心的橢圓，它的短軸長為，右焦點(diǎn)（c>0），它的長軸長為2a（a>c>0），直線與x軸相交于點(diǎn)A，，過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P．Q兩點(diǎn)．

（Ⅰ） 求橢圓的方程和離心率；

（Ⅱ） 若，求直線PQ的方程；

（Ⅲ）設(shè)，過點(diǎn)P且平行于直線的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年河南師大附中高三（下）周周練數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知以原點(diǎn)O為中心的橢圓的一條準(zhǔn)線方程為，離心率，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)
（Ⅰ）若C，D的坐標(biāo)分別是，求|MC|•|MD|的最大值；
（Ⅱ）如題（20）圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），B是圓x2+y2=1上的點(diǎn)，N是點(diǎn)M在x軸上的射影，點(diǎn)Q滿足條件：，、求線段QB的中點(diǎn)P的軌跡方程．

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