Question

10．已知函數(shù)f（x）=${x^3}+f'（\frac{2}{3}）{x^2}$-x+c，（其中$f'（\frac{2}{3}）$為f（x）在點(diǎn)x=$\frac{2}{3}$處的導(dǎo)數(shù)，c為常數(shù)）．
（1）求$f'（\frac{2}{3}）$的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=[f（x）-x³]•e^x，若函數(shù)g（x）在區(qū)間[-3，2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算$f'（\frac{2}{3}）$的值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（3）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)h（x）=-x²-3x-1+c，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于c的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）$f'（x）=3{x^2}+2f'（\frac{2}{3}）x-1$…（1分）$f'（\frac{2}{3}）=-1$…（2分）
（2）f（x）=x³-x²-x+c，f'（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1）…（3分）
當(dāng)f'（x）＞0，即$x＜-\frac{1}{3}$或x＞1時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)f'（x）＜0，即$-\frac{1}{3}＜x＜1$時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．    …（5分）
∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為$（-∞，-\frac{1}{3}）$和（1，+∞）f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為$（-\frac{1}{3}，1）$…（7分）
（3）g（x）=[f（x）-x³]•e^x=（-x²-x+c）•e^x…（8分）
g'（x）=e^x•（-x²-3x-1+c）…（9分）
∵g（x）在區(qū)間[-3，2]上單調(diào)遞增，…（10分）
∴g'（x）=e^x•（-x²-3x-1+c）≥0恒成立．…（11分）
∵e^x＞0∴-x²-3x-1+c≥0
設(shè)h（x）=-x²-3x-1+c，則$\left\{\begin{array}{l}h（-3）≥0\\ h（2）≥0\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}c≥1\\ c≥11\end{array}\right.$，∴c≥11…（14分）
故c的取值范圍是c≥11．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．