Question

過點P(2,4)作互相垂直的直線l₁,l₂，若l₁交x軸于A，l₂交y軸于B，求線段AB中點M的軌跡方程。

Answer 1

答案：
解析：

解法一：設(shè)M(x,y)為所求軌跡上任一點， ∵M為AB中點， ∴A（2x,0),B(0,2y), ∵l1⊥l2且l1,l2過點P（2，4）， ∴PA⊥PB ∴kPA·kPB=－1 ∵kPA=(x≠1) kPB= ∴· =－1 即：x+2y－5=0(x≠1) 當(dāng)x=1時，A（2，0）、B（0，4）,此時AB中點M的坐標(biāo)為（1，2），它也滿足方程x+2y－5=0 ∴所求點M的軌跡方程為x+2y－5=0。 解法二：連結(jié)PM。 設(shè)M（x,y), 則A(2x,0),B(0,2y) ∵l1⊥l2，∴△PAB為直角三角形 ∴｜PM｜=｜AB｜ 即 化簡：x+2y－5=0 ∴所求點M的軌跡方程為x+2y－5=0。