Question

已知數(shù)列的前項和為滿足.

（Ⅰ）函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，令，求數(shù)列的前項和；

（Ⅱ）已知數(shù)列滿足，證明:對任意的整數(shù)，有.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）;（Ⅱ）詳見解析;

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由于，可知數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以；又函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，知，可求，在利用錯位相減求數(shù)列的前項和；（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）和，求出通項公式，在求出，利用不等式放縮求出，對k按當(dāng)且為偶數(shù)和當(dāng)且為奇數(shù)分類討論利用等比數(shù)列前n項和公式求和/

試題解析：（Ⅰ）由，得

當(dāng)時，有，

所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以

由題意得，所以

①

得 ②

得，所以

（Ⅱ）由通項公式得，當(dāng)且為奇數(shù)時

①當(dāng)且為偶數(shù)時

②當(dāng)且為奇數(shù)時.

考點：1.數(shù)列的地推關(guān)系；2.錯位相減法求和；3.不等式放縮在數(shù)列中的應(yīng)用.