Question

設(shè)橢圓C₂：=1（a＞b＞0），拋物線C₂：x²+by=b²．
（1）若C₂經(jīng)過C₁的兩個(gè)焦點(diǎn)，求C₁的離心率；
（2）設(shè)A（0，b），，又M、N為C₁與C₂不在y軸上的兩個(gè)交點(diǎn)，若△AMN的垂心為，且△QMN的重心在C₂上，求橢圓C和拋物線C₂的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知橢圓焦點(diǎn)（c，0）在拋物線上，可得：c²=b²，由a²=b²+c²，求得C₁的離心率；
（2）由題設(shè)可知M、N關(guān)于y軸對(duì)稱，設(shè)M（-x₁，y₁），N（x₁，y₁）（x₁＞0），由△AMN的垂心為B，根據(jù)三角形的垂心是三條高線的交點(diǎn)，可知，再根據(jù)三角形的重心坐標(biāo)公式求得△QMN的重心，代入拋物線C₂：x²+by=b²，即可求得橢圓C和拋物線C₂的方程．
解答：解：
（1）由已知橢圓焦點(diǎn)（c，0）在拋物線上，可得：c²=b²，
由．
（2）由題設(shè)可知M、N關(guān)于y軸對(duì)稱，設(shè)M（-x₁，y₁），N（x₁，y₁）（x₁＞0），由△AMN的垂心為B，有．
由點(diǎn)N（x₁，y₁）在拋物線上，x₁²+by₁=b²，解得：
故，
得△QMN重心坐標(biāo)．
由重心在拋物線上得：，，
又因?yàn)镸、N在橢圓上得：，
橢圓方程為，拋物線方程為x²+2y=4．
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．考查橢圓和拋物線的定義、基本量，通過交點(diǎn)三角形來確認(rèn)方程．考查拋物線的定義和簡單的幾何性質(zhì)，特別是問題（2）的設(shè)問形式，增加了題目的難度，同時(shí)考查了三角的垂心和重心有關(guān)性質(zhì)和公式，綜合性強(qiáng)．