Question

設f：N*→N*，f（x）是定義在正整數(shù)集上的增函數(shù)，且f（f（k））=3k，則f（2012）=

3849

．

Answer 1

分析：對f（f（k））=3k取k=1，得f（f（1））=3，再通過討論可得f（1）=2，進一步可得f（2）=3，f（3）=6=3f（1），f（6）=9=3f（2），f（9）=18=3f（3），…，猜測f（3k）=3f（k），并利用反證法加以證明．依此作為公式，算出f（2187）=3⁷f（1）=4374，f（1944）=3⁵f（8）=3645，結合f（k）的值域包括所有3的倍數(shù)，利用等差數(shù)列通項公式，算出：f（2012）=3645+（2012-1944）×3=3849．

解答：解：∵f（f（k））=3k，∴取k=1，得f（f（1））=3，
假設f（1）=1時，有f（f（1））=f（1）=1矛盾
假設f（1）≥3，因為函數(shù)是正整數(shù)集上的增函數(shù)，得f（f（1））≥f（3）＞f（1）≥3矛盾
由以上的分析可得：f（1）=2，代入f（f（1））=3，得f（2）=3，
可得f（3）=f（f（2））=3×2=6，f（6）=f（f（3））=3×3=9，f（9）=f（f（6））=3×6=18
由f（f（k））=3k，取k=4和5，得f（f（4））=12，f（f（5））=15，
∵在f（6）和f（9）之間只有f（7）和f（8），且f（4）＜f（5），
∴f（4）=7，f（7）=12，f（8）=15，f（5）=8，
由f（x）是增函數(shù)可得f（x）的反函數(shù)f^-1（x）也是增函數(shù)
下證f（3k）=3f（k），且f^-1（3k）=3f^-1（k），
①若f（3k）＜3f（k），則f^-1（3k）＜3f^-1（k），
∵滿足f（n）=k的n必定滿足n＜k，即f^-1（k）＜k，得f^-1（3k）＜3k
∴3f^-1（3k）＜9k=f（f（3k））＜f（3f（k）），得3f（k）＞3f^-1（3k），矛盾
②若f（3k）＞3f（k），則類似①的證法可得3f（k）＜3f^-1（3k），矛盾
綜上所述，得f（3k）=3f（k）且f^-1（3k）=3f^-1（k）
∴f（2187）=f（3×729）=3f（729）=3²f（243）=3³f（81）=3⁴f（27）=3⁵f（9）=3⁶f（3）=3⁷f（1）=4374，
同理f（1944）=3⁵×f（8）=243×15=3645
又∵f（f（k））=3k，∴f（k）的值域包括所有3的倍數(shù)．
∵1944到2187間有242個數(shù)，3645到4374之間有242個三的倍數(shù)，
∴1944到2187之間全部值都是3的倍數(shù)
由此可得：f（2012）=3645+（2012-1944）×3=3849

點評：本題給出抽象函數(shù)，求f（2012）的值，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性、抽象函數(shù)與整數(shù)討論等知識，屬于中檔題．