經(jīng)過(guò)雙曲線x2-=1的左焦點(diǎn)F1作傾斜角為的直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)2是右焦點(diǎn)，求

（1）弦長(zhǎng)AB；

（2）△F2AB的周長(zhǎng).

思路解析：求弦長(zhǎng)可以由弦長(zhǎng)公式，而求△F2AB的周長(zhǎng)，由于直線AB過(guò)焦點(diǎn)F1，故可考慮定義或利用焦半徑公式.

解法一：由雙曲線方程x2-=1,得a=1.b=,c=2.

∴焦點(diǎn)F1(-2,0),F2(2,0).

直線AB方程y=(x+2)代入雙曲線方程，得8x2-4x-13=0.

設(shè)A(x1,y1)，B（x2,y2）,則x1,x2為上述方程的兩根.∴

∴AB=|x1-x2|=·=3.

解法二：雙曲線漸近線斜率為k=±，而直線斜率為，∴交點(diǎn)在兩支上.

∴據(jù)雙曲線第二定義，AF1=ex1+a,BF1=-ex2-a,∴AB=AF1-BF1=ex1+a-(-ex2-a)=2a+e(x1+x2)=

2×1+2×=3.

（2）由雙曲線的第二定義,得

AF2=-(ex1-a)=a-ex1=1-2x1.BF2=ex2-a=2x2-1,

∴AF2+BF2=1-2x1+2x2-1=2(x2-x1)=2=2=3.

∴△F2AB的周長(zhǎng)為3+3.

方法歸納

    求弦長(zhǎng)常用的兩種方法，一種是利用弦長(zhǎng)公式，由韋達(dá)定理求解；一種是利用第二定義將過(guò)焦點(diǎn)的弦轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離來(lái)解決.此時(shí)需注意端點(diǎn)是兩支上還是一支上，若在一支上，則AB=AF+BF；若A、B在兩支上，則AB=|AF-BF|.判斷交于兩支可由韋達(dá)定理x1·x2＜0得到；也可根據(jù)直線的斜率與漸近線斜率的大小關(guān)系得到.


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

經(jīng)過(guò)雙曲線x2- =1的右焦點(diǎn)F2作傾斜角為30°的直線，與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，求

(1)|AB|；

(2)△F1AB的周長(zhǎng)(F1是雙曲線的左焦點(diǎn)).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

經(jīng)過(guò)雙曲線x2-=1的左焦點(diǎn)F1作傾斜角為的弦AB,求:

(1)|AB|;

(2)△F2AB的周長(zhǎng)(F2為右焦點(diǎn)).

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經(jīng)過(guò)雙曲線x2-=1的左焦點(diǎn)F1作傾斜角為的弦AB,求:

(1)|AB|;

(2)△F2AB的周長(zhǎng)(F2為右焦點(diǎn)).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

經(jīng)過(guò)雙曲線x2-=1的左焦點(diǎn)F1，作傾斜角為的弦AB.

(1)求|AB|；

(2)求△F2AB的周長(zhǎng)l(其中F2是雙曲線的右焦點(diǎn)).

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