Question

已知等比數(shù)列{a_n}的首項a₁=8，令b_n=log₂a_n，S_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，若S₃是數(shù)列{S_n}中的唯一最大項，則{a_n}的公比q的取值范圍是

2

4

＜q＜

1

2

．

Answer 1

分析：由題意易得數(shù)列{b_n}的通項公式，可判其為等差數(shù)列，進而把問題轉(zhuǎn)化為

b3＞0 b4＜0

，代入可解到q的范圍．

解答：解：由題意可得a_n=a₁q^n-1=8•q^n-1，
所以b_n=log₂a_n=log₂（8•q^n-1）
=3+log2qn-1=3+（n-1）log₂q，
上式為關(guān)于n的一次函數(shù)的形式，故數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，
又知S₃是數(shù)列{S_n}中的唯一最大項，故

b3＞0 b4＜0

代入可得

3+2log2q＞0 3+3log2q＜0

，解得-

3

2

＜log2q＜-1，
故2-

3

2

＜q＜2^-1，即

2

4

＜q＜

1

2

故答案為：

2

4

＜q＜

1

2

點評：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，設(shè)及轉(zhuǎn)化的思想，屬基礎(chǔ)題．