Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線與x軸平行，求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）討論f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（3）若g（x）=f（x）+

1

x

在[2，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)在點（1，f（1））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．再列出一個等式，最后解方程組即可求得a．，再利用導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，最后求出極值即可．
（2）先求導(dǎo)，再根據(jù)a的值進行分類討論即可．
（3）先求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，再分a≥0，a＜0，進行討論，當(dāng)a＜0，構(gòu)造函數(shù)h（x）=ax²+x-1，求得a的范圍．

解答： 解：（1）f′(x)=a+

1

x

=

ax+1

x

，有f'（1）=0，
得a=-1，故f′(x)=

-x+1

x

，
令f'（x）＞0，得x∈（0，1），故f（x）在（0，1）遞增，
令f'（x）＜0，得x∈（1，+∞），故f（x）在（1，+∞）遞減，
故f（x）的增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞），f_極大值（x）=f（1）=-1，無極小值，
（2）f′(x)=

ax+1

x

(x＞0)
①當(dāng)a≥0時，f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）遞增，
②當(dāng)a＜0時，令f'（x）＞0，得x∈(0，-

1

a

)，
令f'（x）＜0，得x∈(-

1

a

，+∞)，
所以f（x）在（0，-

1

a

）遞增，在f（x）在（-

1

a

，+∞）遞減，
綜上：當(dāng)a≥0時，f（x）在（0，+∞）遞增
當(dāng)a＜0時，f（x）在（0，-

1

a

）遞增，在f（x）在（-

1

a

，+∞）遞減，
（3）由題意可知：g(x)=ax+lnx+

1

x

在[2+∞）上是單調(diào)函數(shù)g′(x)=

1

x

-

1

x2

+a=

ax2+x-1

x2

當(dāng)a≥0時，ax²+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f'（x）＞0，符合要求；
當(dāng)a＜0時，令h（x）=ax²+x-1，則由題意可知△=1+4a≤0或

△=1+4a＞0 h(2)≤0 - 1 2a ≤2

，
解得：a≤-

1

4

．
∴a的取值范圍是(-∞，-

1

4

]∪[0，+∞)

點評：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．