已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)和B(2,－2),且圓心在直線l:x－y+1=0上,求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

 

活動(dòng):學(xué)生閱讀題目,分析條件,教師指導(dǎo)學(xué)生考慮問題的思路.

(1)利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2+(y－b)2=r2,只要能構(gòu)造三個(gè)方程求出a、b、r便可.

(2)確定一個(gè)圓只需確定圓心位置與半徑大小.

圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)和B(2,-2),由于圓心C與A,B兩點(diǎn)的距離相等,所以圓心C在線段AB的垂直平分線m上,又圓心C在直線l上,因此圓心C是直線l與直線m的交點(diǎn),半徑長等于|CA|或|CB|.

解法一:設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2+(y－b)2=r2,將點(diǎn)A(1,1)和B(2,－2)代入得

又圓心在l:x－y+1=0上,所以a-b+1=0.聯(lián)立方程組

解得a=-3,b=-2,r=5.

所以所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+3)2+(y+2)2=25.

解法二:因?yàn)锳(1,1)和B(2,－2),所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(,),直線AB的斜率為kAB==－3,故線段AB的垂直平分線方程為y+=(x),即x－3y－3=0.由

解得

因此圓心C的坐標(biāo)為(-3,-2),半徑r=|AC|==5,所以所求的圓的方程為(x+3)2+(y+2)2=25.

點(diǎn)評(píng):比較解法一與解法二,不難看出解法二直接明了,思路明確,易于理解,而解法一則籠統(tǒng),較繁.

圓的幾何性質(zhì)的運(yùn)用使圓的方程的求解運(yùn)算簡單、方便、快捷,這也是解析幾何中以形助數(shù)的精髓,在以后的解題中要注意應(yīng)用.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A（0，2）和B（-3，3），且圓心C在直線l：x+y+5=0上．
（1）求線段AB的垂直平分線方程；
（2）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓心為C的圓經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)O（0，0）、A（1，3）、B（4，0）
（1）求圓C的方程；
（2）求過點(diǎn)P（3，6）且被圓C截得弦長為4的直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A（0，1）和B（-2，3），且圓心在直線l：x+2y-3=0上．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若圓C的切線在x軸，y軸上的截距相等，求切線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A（1，4），B（3，6），且圓心C在直線4x-3y=0上．
（1）求圓C的方程；
（2）已知直線l：y=x+m（m為正實(shí)數(shù)），若直線l截圓C所得的弦長為
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，求實(shí)數(shù)m的值．
（3）已知點(diǎn)M（-4，0），N（4，0），且P為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，求|PM|2+|PN|2的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A（4，1）和B（0，-3），且圓心C在直線l：2x-y-5=0上．
（Ⅰ）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)P（4，-8）直線l與圓C交點(diǎn)M、N兩點(diǎn)，且|MN|=4，求直線l的方程．

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