已知函數(shù)f(x)=
ax+b
x2+1
是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f(
1
2
)=
2
5
．
①確定函數(shù)的解析式；
②用單調(diào)性的定義，證明f（x）在（0，1）上是增函數(shù)．
①∵函數(shù)f(x)=
ax+b
x2+1
在（-1，1）上是奇函數(shù)
∴f（0）=0
∴b=0…（2分）
又∵f(
1
2
)=
2
5
，解得a=1…（2分）
∴f(x)=
x
x2+1
…（2分）
②關(guān)于f(x)=
x
x2+1
在（0，1）上是增函數(shù)的證明如下：
設(shè)0＜x1＜x2＜1，則                  …（1分）
f(x1)-f(x2)=
x1
x12+1
-
x2
x22+1
=
(x1-x2)(1-x1x2)
(x12+1)(x22+1)
…（2分）
∵0＜x1＜x2＜1
∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0，（x12+1）（x22+1）＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0則f（x1）＜f（x2）…（2分）
∴f(x)=
x
x2+1
在（0，1）上是增函數(shù)．…（1分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過點Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　　）
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

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