Question

已知點(diǎn)P（x，y）是平面區(qū)域

y≤4 x-y≤0 x≥m(y-4)

內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A（1，-1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)|

OP

-

λOA

|（λ∈R）的最小值為M，若M≤

2

恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A、[-

  1

  3

  ，

  1

  5

  ]
• B、（-∞，-

  1

  3

  ]∪[

  1

  5

  ，+∞）
• C、[-

  1

  3

  ，+∞）
• D、[-

  1

  2

  ，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：數(shù)形結(jié)合,不等式的解法及應(yīng)用

分析：分m＞0，m=0，m＜0三種情況作可行域，然后分析使|

OP

-

λOA

|取最小值時(shí)的P點(diǎn)在可行域內(nèi)的位置，由M≤

2

得到m的取值范圍．

解答： 解：直線x=m（y-4）恒過定點(diǎn)（0，4），
當(dāng)m＞0時(shí)，由約束條件

y≤4 x-y≤0 x≥m(y-4)

作可行域如圖，

|

OP

-

λOA

|的最小值為M=0，滿足M≤

2

；
當(dāng)m=0時(shí)，直線x=m（y-4）與y軸重合，平面區(qū)域

y≤4 x-y≤0 x≥m(y-4)

為圖中y軸右側(cè)的陰影區(qū)域，
|

OP

-

λOA

|的最小值為M=0，滿足M≤

2

；
當(dāng)m＜0時(shí)，由約束條件

y≤4 x-y≤0 x≥m(y-4)

作可行域如圖陰影部分，

當(dāng)P點(diǎn)與B重合時(shí)，|

OP

-

λOA

|（λ∈R）的最小值M=|

OB

|，
聯(lián)立

y=x x=m(y-4)

，解得B（

4m

m-1

，

4m

m-1

）．
|

OB

|=

2

|

4m

m-1

|，
由

2

|

4m

m-1

|≤

2

，解得：-

1

3

≤m≤

1

5

．
∴-

1

3

≤m＜0．
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-

1

3

，+∞）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，是難題．