Question

【題目】如圖所示，平面四邊形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AD⊥ED，AF∥DE，AB∥CD，CD=2AB=2AD=2ED=xAF．
（Ⅰ）若四點F、B、C、E共面，AB=a，求x的值；
（Ⅱ）求證：平面CBE⊥平面EDB；
（Ⅲ）當(dāng)x=2時，求二面角F﹣EB﹣C的大小．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵AF∥DE，AB∥CD，AF∩AB=A，DE∩DC=D，
∴平面ABF∥平面DCE，
∵平面ADEF⊥平面ABCD，
∴FB∥CE，∴△ABF～△DCE，
∵AB=a，∴ED=a，CD=2a，AF= ，由相似比得 ，即 ，得x=4
（Ⅱ）連接BD，設(shè)AB=1，則AB=AD=1，CD=2，可得BD= ，取CD的中點M，則MD與AB平行且相等，
則△BMD為等腰直角三角形，則BC=BD= ，
∵BD2+BC2=CD2 ，
∴BC⊥BD．
∵平面四邊形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，平面ADEF∩平面ABCD=AD，ED⊥AD，
∴ED⊥平面ABCD，BC⊥DE，
又∵ED∩BD=D，
∴BC⊥平面BDE．
又∵BC平面BCE，
∴平面BDE⊥平面BEC．
（ III）建立空間坐標(biāo)系如圖：設(shè)AB=1，
∵x=2，∴CD=2，
則F（1，0，1），B（1，1，0），E（0，0，1），C（0，2，0），
=（1，0，0）， =（1，1，﹣1）， =（0，2，﹣1），
設(shè)平面EF的一個法向量為 =（x，y，z），
則由 得 ，則取 =（0，1，1），
設(shè)平面EBC的法向量為 =（x，y，z），
則 ，得 ，令y=1，則z=2，x=1，即 =（1，1，2），
則cos＜ ， ＞= = = ，
則＜ ， ＞=30°，
∵二面角F﹣EB﹣C是鈍二面角，
∴二面角F﹣EB﹣C的大小為150°．

【解析】（Ⅰ）根據(jù)四點F、B、C、E共面，以及三角形相似建立方程關(guān)系進行求解；（Ⅱ） 根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面BDE⊥平面BEC；（Ⅲ）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可．
【考點精析】利用直線與平面垂直的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．