Question

已知函數(shù)f（n）=，a_n=f（n）+f（n+1），則a₁+a₂+…+a₁₀₀=（ ）
A．0
B．-100
C．100
D．10200

Answer 1

【答案】分析：對通項a_n=f（n）+f（n+1）研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)n為奇數(shù)時，a_n=n²-（n+1）²=-2n-1，所有的奇數(shù)項組成一個首項為-3，公差為-2，項數(shù)為50的等差數(shù)列；當(dāng)n為偶數(shù)時a_n=-n²+（n+1）²=2n+1，故所有的偶數(shù)項組成一個首項為5，公差為2，項數(shù)為50的等差數(shù)列，將奇數(shù)項與偶數(shù)項分別求和，然后再相加求數(shù)列前100項的和．
解答：解：由題意可知a₁=f（1）+f（2）=1-2²=-3；
a₂=f（2）+f（3）=-2²+3²=5；
a₃=f（3）+f（4）=3²-4²=-7，
由上可猜想：
當(dāng)n為奇數(shù)時，a_n=n²-（n+1）²=-2n-1，
當(dāng)n為偶數(shù)時a_n=-n²+（n+1）²=2n+1，
故所有的奇數(shù)項組成一個首項為-3，公差為-2，項數(shù)為50的等差數(shù)列；
所有的偶數(shù)項組成一個首項為5，公差為2，項數(shù)為50的等差數(shù)列．
由等差數(shù)列的前n項和公式Sn=（a₁-）×n+n²
得S_奇=（-3+1）×50-50²=-2600；
S_偶=（5-1）×50+50²=2700
所以S₁₀₀=S_偶+S_奇=2700-2600=100
故選C．
點評：本題是技巧型與能力型題，需要對數(shù)列形式進(jìn)行研究，根據(jù)數(shù)列的特征來選擇解題的方法，這是本題的特點．