Question

13．（普通中學做）已知數列{a_n}為等差數列，a₃=3，a₇=7，數列{b_n}的前n項和為S_n，且S_n=2b_n-2
（1）求{a_n}、{b_n}的通項公式
（2）若c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$，數列{c_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列通項公式列出方程組，求出首項、公差，由此能求出{a_n}的通項公式，由數列{b_n}的前n項和S_n=2b_n-2，得{b_n}是首項為2，公比為2的等比數列，由此能求出{b_n}的通項公式．
（2）由c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用錯位相減法能求出數列{c_n}的前n項和．

解答 解：（1）∵數列{a_n}為等差數列，a₃=3，a₇=7，設公差為d．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=3}\\{{a}_{1}+6d=7}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=1}\end{array}\right.$，
∴a_n=1+（n-1）×1=n，n∈N^*．
∵數列{b_n}的前n項和為S_n，且S_n=2b_n-2，
∴b₁=S₁=2b₁-2，解得b₁=2，
當n≥2時，由S_n=2b_n-2及S_n-1=2b_n-1-2，
兩式相減，得b_n=2b_n-2b_n-1，∴b_n=2b_n-1，
∴{b_n}是首項為2，公比為2的等比數列，
∴b_n=2•2^n-1=2ⁿ．（n∈N^*）．
（2）∵c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴數列{c_n}的前n項和：
T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+…+\frac{n}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+…+\frac{n}{{2}^{n+1}}$，②
①-②，得：$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=1-$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查數列的通項公式及前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．