Question

一個(gè)斜三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)5，若其中一條側(cè)棱與底面三角形的相鄰兩邊都成60°角，則這個(gè)三棱柱的體積是（　　）

• A．

  50 3

  3

• B．20

  3

• C．

  50 2

  3

• D．20

  2

Answer 1

分析：過(guò)A₁作A₁D⊥平面ABC，由∠A₁AC=∠A₁AB=60°，知AO是∠BAC的平分線，由△ABC是等邊三角形，知AO⊥BC，所以平面BB₁C₁C是矩形，過(guò)O作OE⊥AB，連接A₁E，由三垂線定理知A₁E⊥AB，由此能求出這個(gè)三棱柱的體積．

解答：解：過(guò)A₁作A₁D⊥平面ABC，
∵∠A₁AC=∠A₁AB=60°，
∴AO是∠BAC的平分線，
∵△ABC是等邊三角形，∴AO⊥BC，
∴AA₁⊥BC，∴BC⊥BB₁，
∴平面BB₁C₁C是矩形，
過(guò)O作OE⊥AB，連接A₁E，由三垂線定理知A₁E⊥AB，
在△A₁AE中，A₁E=AA₁sin60°=5×

3

2

，AE=5×

1

2

=

5

2

，
在Rt△OAE中，∠OAE=30°，∴OE=AE×tan30°=

5

2

×

3

3

=

5

6

3

，
∴h=OA′=

A1E2-OE2

=

5 6

3

，
∴V=S_△ABC×h=

1

2

×4×4×

3

2

×

5 6

3

=20

2

．
故選D．
．

點(diǎn)評(píng)：本題考查斜三棱柱的體積計(jì)算，解本題的關(guān)鍵是合理運(yùn)用三垂線定哩．