Question

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓短半軸長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)M（2，t）（t＞0）在直線x=

a2

c

（a為長(zhǎng)半軸，c為半焦距）上．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求以O(shè)M為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)M（2，t）（t＞0）在直線x=

a2

c

（a為長(zhǎng)半軸，c為半焦距）上，可得

a2

c

=2，利用橢圓短半軸長(zhǎng)為1，即可確定橢圓方程；
（2）設(shè)出以O(shè)M為直徑的圓的方程，利用以O(shè)M為直徑的圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2，結(jié)合圓心到直線3x-4y-5=0的距離，即可求得所求圓的方程．

解答：解：（1）∵動(dòng)點(diǎn)M（2，t）（t＞0）在直線x=

a2

c

（a為長(zhǎng)半軸，c為半焦距）上
∴

a2

c

=2
∵橢圓短半軸長(zhǎng)為1，∴

1+c2

c

=2，∴c=1
∴a=

2

所以橢圓方程為

x2

2

+y2=1
（2）設(shè)以O(shè)M為直徑的圓的方程為(x-1)2+(y-

t

2

)2=

t2

4

+1，
其圓心為(1，

t

2

)，半徑r=

t2 4 +1

因?yàn)橐設(shè)M為直徑的圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2
所以圓心到直線3x-4y-5=0的距離d=

r2-1

=

t

2

所以

|3-2t-5|

5

=

t

2

，解得t=4
所求圓的方程為（x-1）²+（y-2）²=5

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查圓的方程，考查點(diǎn)到直線距離的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是利用圓的性質(zhì)求解圓的弦長(zhǎng)問題．