已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點O,橢圓短半軸長為1,動點M(2,t)(t>0)在直線x=
a2c
(a為長半軸,c為半焦距)上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求以O(shè)M為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程.
分析:(1)根據(jù)動點M(2,t)(t>0)在直線x=
a2
c
(a為長半軸,c為半焦距)上,可得
a2
c
=2
,利用橢圓短半軸長為1,即可確定橢圓方程;
(2)設(shè)出以O(shè)M為直徑的圓的方程,利用以O(shè)M為直徑的圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2,結(jié)合圓心到直線3x-4y-5=0的距離,即可求得所求圓的方程.
解答:解:(1)∵動點M(2,t)(t>0)在直線x=
a2
c
(a為長半軸,c為半焦距)上
a2
c
=2

∵橢圓短半軸長為1,∴
1+c2
c
=2
,∴c=1
a=
2

所以橢圓方程為
x2
2
+y2=1

(2)設(shè)以O(shè)M為直徑的圓的方程為(x-1)2+(y-
t
2
)
2
=
t2
4
+1
,
其圓心為(1,
t
2
)
,半徑r=
t2
4
+1

因為以O(shè)M為直徑的圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2
所以圓心到直線3x-4y-5=0的距離d=
r2-1
=
t
2

所以
|3-2t-5|
5
=
t
2
,解得t=4
所求圓的方程為(x-1)2+(y-2)2=5
點評:本題考查橢圓的方程,考查圓的方程,考查點到直線距離的運用,解題的關(guān)鍵是利用圓的性質(zhì)求解圓的弦長問題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點O,焦點在x軸上,斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點,
OA
+
OB
a
=(3,-1)共線.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)設(shè)M為橢圓上任意一點,且
OM
OA
OB
(λ,μ∈R)
,證明λ22為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點O,橢圓短半軸長為1,動點M(2,t)(t>0)在直線x=
a2c
(a為長半軸,c為半焦距)上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(2)求以O(shè)M為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程;
(3)設(shè)F是橢圓的右焦點,過點F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點N,求證:線段ON的長為定值,并求出這個定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點,斜率為1且過橢圓右焦點F(2,0)的直線交橢圓于A,B兩點,
OA
+
OB
a
=(3,-1)
共線,則該橢圓的長半軸長為
6
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點O,焦點在x軸上,斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點,
OA
+
OB
a
=(3,-1)
共線,則該橢圓的離心率為( 。
A、
5
3
B、
3
2
C、
6
3
D、
2
2
3

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