Question

已知E，F，G，H為空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，BD，AC所成角為60°．且BD=a，AC=b，求四邊形EFGH的面積．

Answer 1

分析：根據三角形的中位線定理，可證出GH∥EF且GH=EF，所以四邊形EFGH是平行四邊形．由AC、BD所成的角為60°，可得∠EFG=60°或120°，最后用正弦定理關于面積的公式，結合AC、BD的長度代入，即可得到四邊形EFGH的面積．

解答：解：∵△ABC中，E、F分別為AB、BC的中點，
∴EF∥AC且EF=

1

2

AC．
同理可得GH∥AC且GH=

1

2

AC，FG∥BD且FG=

1

2

BD
∵GH∥EF且GH=EF，∴四邊形EFGH是平行四邊形
∵EF∥AC，FG∥BD，AC、BD所成的角為60°
∴∠EFG=60°或120°
∵平行四邊形EFGH中，EF=

1

2

AC=

1

2

a，FG=

1

2

BD=

1

2

b
∴四邊形EFGH的面積S=EF•FG•sin∠EFG=

1

2

a•

1

2

b•

3

2

=

3

8

ab．

點評：本題給出空間四邊形的對角線的長度和它們所成的角，求各邊中點構成的四邊形的面積，著重考查了三角形的中位線定理和異面直線所成角等知識，屬于基礎題．