Question

已知m＜9，給出如下兩個命題：
p：二次函數(shù)y=x²+（m-7）x+1在定義域R上不存在零點；
q：三次函數(shù)y=-x³+3x在開區(qū)間（m-9，9-m）上存在最大值與最小值．
若命題“p或q”為真命題，命題“p且q”為假命題，求實數(shù)m的范圍．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)函數(shù)零點與方程根的關(guān)系，可得方程x²+（m-7）x+1=0無實根，再由方程根與△的關(guān)系，可構(gòu)造一個關(guān)于m 的不等式，解不等式可求出命題p成立的條件；根據(jù)三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由三次函數(shù)y=-x³+3x在開區(qū)間（m-9，9-m）上存在最大值與最小值，也可構(gòu)造一個關(guān)于m 的不等式，解不等式可求出命題q成立的條件；然后根據(jù)若命題“p或q”為真命題，命題“p且q”為假命題，命題p與命題q中一個真，一個假，構(gòu)造不等式組，即可得到答案．
解答：解：若二次函數(shù)y=x²+（m-7）x+1在定義域R上不存在零點
則方程x²+（m-7）x+1=0無實根
則△=（m-7）²-4＜0
解得5＜m＜9
若三次函數(shù)y=-x³+3x在開區(qū)間（m-9，9-m）上存在最大值與最小值．
則m-9≥-2，且9-m≤2，即m≥7
若命題“p或q”為真命題，命題“p且q”為假命題，
故命題p與命題q中一個真，一個假
又∵m＜9，
∴當(dāng)p真q假時，5＜m＜7
p假q真時，無滿足條件的m的值
故實數(shù)m的范圍為（5，7）
點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應(yīng)用，函數(shù)零點的判定定理，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的函數(shù)的最值，綜合性比較強，難度也比較大．