Question

（2012•寧德模擬）在面積為S的正三角形ABC中，E是邊AB上的動點，過點E作EF∥BC，交AC于點F，當(dāng)點E運動到離邊BC的距離為△ABC高的

1

2

時，△EFB的面積取得最大值為

1

4

S．類比上面的結(jié)論，可得，在各棱條相等的體積為V的四面體ABCD中，E是棱AB上的動點，過點E作平面EFG∥平面BCD，分別交AC、AD于點F、G，則四面體EFGB的體積的最大值等于

4

27

V．

Answer 1

分析：根據(jù)三角形的邊應(yīng)與四面體中的各個面進行類比，而面積與體積進行類比，中位線與中截面進行類比，進行猜想．

解答：解：根據(jù)幾何體和平面圖形的類比關(guān)系，
三角形的邊應(yīng)與四面體中的各個面進行類比，而面積與體積進行類比，中位線與中截面進行類比：
在面積為S的正三角形ABC中，當(dāng)點E運動到離邊BC的距離為△ABC高的

1

2

時，△EFB的面積取得最大值為

1

4

S．
類比上面的結(jié)論，可得，在各棱條相等的體積為V的四面體ABCD中，E是棱AB上的動點，過點E作平面EFG∥平面BCD，分別交AC、AD于點F、G，設(shè)AE=xAB（0＜x＜1），則四面體EFGB的體積V₁=x²（1-x）V=

1

2

x•x（2-2x）V≤

1

2

(

x+x+2-2x

3

)3V=

4

27

V，最大值等于V_{四面體EFGB}=V_{四面體AEFG}=

4

27

V．
故答案為：

4

27

．

點評：本題考察了立體幾何和平面幾何的類比推理，一般平面圖形的邊、面積分別于幾何體中的面和體積進行類比，從而得到結(jié)論．