Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），有下列命題：
①由f （x₁）=f （x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整數(shù)倍；
②若x₁，x₂∈（-

π

6

，

π

12

），且2f（x1）=f（x₁+x₂+

π

6

），則x₁＜x₂；
③函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（-

π

6

，0）對(duì)稱；
④函數(shù)y=f （-x）的單調(diào)遞增區(qū)間可由不等式2kπ-

π

2

≤-2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）求得．
正確命題的序號(hào)是

②③

．

Answer 1

分析：對(duì)于①和③通過(guò)利用三角函數(shù)的函數(shù)值等于0分析變量x₁ 和x₂ 的取值情況，從而判斷命題的真假；
對(duì)于④，直接利用求復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的方法加以判斷；
②的判斷稍微困難，分析得到[-

π

6

，

π

12

]為f（x）的第一個(gè)

1

4

周期，利用周期性加以變形，得到2f（x₁）=2sin（2x₁+

π

3

），然后利用sin（2x1+2x1+

2π

3

）=2sin（2x1+

π

3

）cos（2x1+

π

3

）＜sin（2x1+2x2+

2π

3

），結(jié)合單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答：解：對(duì)于①．令2x+

π

3

=kπ，得到x=

kπ

2

-

π

6

（k是整數(shù)），
由f（x₁）=f（x₂）=0，可得x₁-x₂必是

π

2

的整數(shù)倍，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②．f（x）=4sin（2x+

π

3

），
求解得f（-

π

6

）=0，f（

π

12

）=1，周期T=π．
則[-

π

6

，

π

12

]為f（x）的第一個(gè)

1

4

周期（此周期內(nèi)f（x）單調(diào)增大于0）．
設(shè)x₁，x₂ 的取值區(qū)間為D，
2f（x₁）=2sin（2x₁+

π

3

）
f（x1+x2+

π

6

）=sin（2x1+2x2+

2π

3

）
由于cos（2x1+

π

3

）在D中取值范圍為（0，1），得
sin（2x1+2x1+

2π

3

）=2sin（2x1+

π

3

）cos（2x1+

π

3

）＜sin（2x1+2x2+

2π

3

）
即sin（2x1+2x1+

2π

3

）＜sin（2x1+2x2+

2π

3

）
又，在D中f（x）性質(zhì)如上述，由單調(diào)性有x₁＜x₂．故②正確；
對(duì)于③．令2x+

π

3

=kπ，得到x=

kπ

2

-

π

6

（k是整數(shù)），當(dāng)k=0時(shí)，得到x=-

π

6

，
所以函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-

π

6

，0）對(duì)稱．故③正確；
對(duì)于④．函數(shù)y=f （-x）=4sin(-2x+

π

3

)，
若求其增區(qū)間，只需讓-2x+

π

3

在正弦函數(shù)的減區(qū)間內(nèi)即可，故④不正確．
所以正確的命題的序號(hào)是②③．
故答案為②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了正弦型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記課本基礎(chǔ)知識(shí)，是中檔題．