Question

如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于E，AE=2，ED=4．
（1）求證：△ABE∽△ADB，并求AB的長(zhǎng)；
（2）延長(zhǎng)DB到F，使BF=BO，連接FA，那么直線(xiàn)FA與⊙O相切嗎？為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）易得△ABE與△ADB的三個(gè)內(nèi)角相等，故△ABE∽△ADB，進(jìn)而可得；代入數(shù)據(jù)可得答案．
（2）連接OA，根據(jù)勾股定理可得BF=BO=AB；易得∠OAF=90°，故可得直線(xiàn)FA與⊙O相切．
解答：證明：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D．
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，（3分）
∴，
∴AB²=AD•AE=（AE+ED）•AE=（2+4）×2=12，
∴AB=2．（5分）
解：（2）直線(xiàn)FA與⊙O相切．（6分）
理由如下：
連接OA，
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°，
∴BD=，
∴BF=BO=．
∵AB=2，
∴BF=BO=AB，即△ABO為等邊三角形，∠BFA=∠BAF
∴∠BAO=∠OBA=60°，又∵∠OBA=∠BFA+∠BAF
∴∠BFA=∠BAF=30°
∴∠OAF=∠BAF+∠BAO=90°．
∴直線(xiàn)FA與⊙O相切．（8分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的切線(xiàn)的判定定理的證明．本題考查常見(jiàn)的幾何題型，包括切線(xiàn)的判定及相似三角形證明與性質(zhì)的運(yùn)用，要求學(xué)生掌握常見(jiàn)的解題方法，并能結(jié)合圖形選擇簡(jiǎn)單的方法解題．