Question

3．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+b{x^2}+（{a^2}+{c^2}-ac）x+1$有極值點(diǎn)，則∠B的范圍是（$\frac{π}{3}$，π）．

Answer 1

分析 先求導(dǎo)f′（x）=x²+2bx+（a²+c²-ac），從而化函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+bx²+（a²+c²-ac）x+1有極值點(diǎn)為x²+2bx+（a²+c²-ac）=0有兩個不同的根，從而再利用余弦定理求解．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+bx²+（a²+c²-ac）x+1，
∴f′（x）=x²+2bx+（a²+c²-ac），
又∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+bx²+（a²+c²-ac）x+1有極值點(diǎn)，
∴x²+2bx+（a²+c²-ac）=0有兩個不同的根，
∴△=（2b）²-4（a²+c²-ac）＞0，
即ac＞a²+c²-b²，
即ac＞2accosB；
即cosB＜$\frac{1}{2}$；
故∠B的范圍是（$\frac{π}{3}$，π）；
故答案為：$（{\frac{π}{3}，π}）$．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．