Question

（文）已知點(diǎn)P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n為正整數(shù)）都在函數(shù)y=a^x（a＞0，a≠1）的圖象上，其中{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和S_n，求；
（3）設(shè)Q_n（a_n，0），當(dāng)時，問△OP_nQ_n的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用定義即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再代入求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，用定義即可證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）先直接代入公式求出S_n以及的表達(dá)式，再分a的不同取值來求結(jié)論即可；
（3）先找到△OP_nQ_n的面積的表達(dá)式，設(shè)出對應(yīng)數(shù)列，再利用求數(shù)列最大項(xiàng)的方法求出△OP_nQ_n的面積的最大值即可．
解答：解：（1）a_n=2n-1，（n∈N^*），，
∴，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（2）因?yàn)閧b_n}是等比數(shù)列，且公比a²≠1，
∴，．
當(dāng)0＜a＜1時，；
當(dāng)a＞1時，．
因此，．
（3），，
設(shè)，
當(dāng)c_n最大時，則，
解得，n∈N^*，∴n=2．
所以n=2時c_n取得最大值，
因此△OP_nQ_n的面積存在最大值．
點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，數(shù)列最大項(xiàng)的求法和數(shù)列的極限．知識點(diǎn)較多，屬于中檔題．