Question

19．設(shè)f'（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，f''（x）是f'（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f''（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱(chēng)點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”．已知：任何三次函數(shù)既有拐點(diǎn)，又有對(duì)稱(chēng)中心，且拐點(diǎn)就是對(duì)稱(chēng)中心．設(shè)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-2{x^2}+\frac{8}{3}x+2$，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n-1007，則$\sum_{i=1}^{2017}{f（{a_i}）=}$4034．

Answer 1

分析 令f″（x）=0得出f（x）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性和等差數(shù)列的性質(zhì)得出結(jié)論．

解答 解：f′（x）=x²-4x+$\frac{8}{3}$，f″（x）=2x-4，
令f″（x）=0得x=2，又f（2）=2，
∴f（x）的對(duì)稱(chēng)中心為（2，2）．
∵a_n=n-1007，∴{a_n}是以-1006為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
∴a₁+a₂₀₁₇=a₂+a₂₀₁₆=…=a₁₀₀₈+a₁₀₁₀=2a₁₀₀₉=4，
∴f（a₁）+f（a₂₀₁₇）=f（a₂）+f（a₂₀₁₆）=…=f（a₁₀₀₈）+f（a₁₀₁₀）=4，
∴$\sum_{i=1}^{2017}{f（{a_i}）=}$f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₇）=1008×4+f（a₁₀₀₉）=4032+f（2）=4032+2=4034．
故答案為：4034．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．