已知(m為常數(shù),m>0且m≠1).

      設(shè)(n∈?)是首項(xiàng)為m2,公比為m的等比數(shù)列.

    (1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;

    (2)若,且數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)m=2時(shí),求Sn;

    (3)若,問是否存在m,使得數(shù)列中每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)?若存在,求出m的范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

 

【答案】

 

.解:(1)由題意f(an)=,即

∴an=n+1,(2分)       ∴an+1-an=1,

∴數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.(4分)

(2)由題意=(n+1)·mn+1,

當(dāng)m=2時(shí),bn=(n+1)·2n+1

∴Sn=2·22+3·23+4·24+…+(n+1)·2n+1、伲6分)

①式兩端同乘以2,得

2Sn=2·23+3·24+4·25+…+n·2n+1+(n+1)·2n+2、

②-①并整理,得

Sn=-2·22-23-24-25-…-2n+1+(n+1)·2n+2

=-22-(22+23+24+…+2n+1)+(n+1)·2n+2

=-22-+(n+1)·2n+2

=-22+22(1-2n)+(n+1)·2n+2=2n+2·n.(9分)

(3)由題意=mn+1·lgmn+1=(n+1)·mn+1·lgm,

要使cn<cn+1對(duì)一切n∈N*成立,

即(n+1)·mn+1·lgm<(n+2)·mn+2·lgm,對(duì)一切n∈N*成立,

①當(dāng)m>1時(shí),lgm>0,所以n+1<m(n+2)對(duì)一切n∈N*恒成立;

(11分)

②當(dāng)0<m<1時(shí),lgm<0,所以等價(jià)使得>m對(duì)一切n∈N*成立,

因?yàn)椋?-的最小值為,所以0<m<.

綜上,當(dāng)0<m<或m>1時(shí),數(shù)列{cn}中每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng).

(14分)

【解析】略

 

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   (Ⅰ)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;

   (Ⅱ)若bn=an?,且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)時(shí),求Sn.

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已知(m為常數(shù),m>0且),設(shè)是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列.
(1)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(2)若bn=an·,且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn,當(dāng)時(shí),求;
(3)若cn=,問是否存在m,使得{cn}中每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)?若存在,
求出m的范圍;若不存在,說明理由.

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已知(m為常數(shù),m>0且
設(shè)是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列.
(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)若,且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,當(dāng)時(shí),求
(3)若,問是否存在,使得中每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)?
若存在,求出的范圍;若不存在,說明理由.

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