Question

6．已知f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象與X軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為$\frac{π}{2}$．若M（$\frac{2π}{3}$，-2）為圖象上一個最低點．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)y=f（x）圖象的對稱軸方程和對稱中心坐標．
（3）求f（x）的單減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由題意求得周期，由周期公式求得ω，結(jié)合M（$\frac{2π}{3}$，-2）為圖象上一個最低點求得A和φ；
（2）直接由相位的終邊在y軸及x軸上求函數(shù)y=f（x）圖象的對稱軸方程和對稱中心坐標；
（3）由由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z）即可求得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：（1）由題意知$\frac{1}{2}$T=$\frac{π}{2}$，∴T=π，
即$\frac{2π}{ω}$=π，故ω=2，
又A=2且，2sin（2×$\frac{2π}{3}$x+φ）=-2
φ=$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈z，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴函數(shù)解析式是f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（2）令2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，得x=$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
即函數(shù)y=f（x）圖象的對稱軸方程為x=$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
令2x+$\frac{π}{6}$=π+kπ，得x=$\frac{5π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴函數(shù)y=f（x）圖象的對稱中心坐標為（$\frac{5π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，0），k∈Z；
（3））由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z）得，kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$（k∈Z）．
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．

點評 本題考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)圖象的求法，考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，訓練了函數(shù)值域的求法，是中檔題．