Question

已知cosx），=（cosx，cosx），f（x）=．
（1）若，求x的取值集合；（2）求函數(shù)f（x）的周期及增區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)兩向量垂直時(shí)其數(shù)量積為0，利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則得到一個(gè)關(guān)系式，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)等于-，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出x的范圍，進(jìn)而得到x的取值集合；
（2）由（1）求出的f（x）的解析式，找出ω的值，利用周期公式即可求出f（x）的最小正周期，由正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即為f（x）的遞增區(qū)間．
解答：解：（1）∵，∴=0，
而=sinxcosx+cos²x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，
∴sin（2x+）+=0，即sin（2x+）=-，
∴2x+=2kπ-或2x+=2kπ-（k∈Z），
解得：x=kπ-或x=kπ-（k∈Z），
∴x的取值集合為{x|x=kπ-或x=kπ-（k∈Z）}；
（2）∵f（x）==sin（2x+）+，∴f（x）的周期T==π，
∵y=sinx的增區(qū)間為[2kπ-，2kπ+]（k∈Z），
由2kπ-≤2x+≤2kπ+，解得：kπ-≤x≤kπ+，
∴f（x）的增區(qū)間為[kπ-，kπ+]（k∈Z）．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及利用數(shù)量積判斷兩向量的垂直關(guān)系，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的單調(diào)性及三角函數(shù)的恒等變形，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．