Question

【題目】已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足cos2B﹣cos2C﹣sin2A=sinAsinB．
（1）求角C；
（2）若c=2 ，△ABC的中線CD=2，求△ABC面積S的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，且cos2B﹣cos2C﹣sin2A=sinAsinB．

sin2C﹣sinAsinB=sin2A+sin2B，

∴由正弦定理化簡(jiǎn)得：c2﹣ab=a2+b2，

∴cosC= ，

可得：cosC=

∵0＜C＜π，

∴C= ．

（2）解：設(shè)∠ADC=α，則∠CDB=π﹣α．

在△ADC中，由余弦定理可得：b2= ﹣ ，

在△CDB中，由余弦定理可得：a22= ﹣2× cos（π﹣α），

∴b2+a2=20，

在△ABC中，由余弦定理可得： =b2+a2﹣2ba ，化為：b2+a2+ba=24．

∴ba=4．

∴S△ABC= basin = ．

【解析】（1）利用余弦定理表示出cosC，把已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理后代入計(jì)算求出cosC的值，即可確定出C的度數(shù)．（2）設(shè)∠ADC=α，則∠CDB=π﹣α．在△ADC與△ADB中，由余弦定理可得：b2+a2=20，在△ABC中，由余弦定理可得：b2+a2+ba=24．可得ba=4．即可得出．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;．