Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)F₁（-2，0），過(guò)左焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為

2 6

3

．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)（-3，0）點(diǎn)的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若以線段A，B為直徑的圓過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓方程，表示出通徑，由其長(zhǎng)等于

2 6

3

，聯(lián)立c=2及a²=b²+c²求解a，b的值，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；
（Ⅱ）設(shè)出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系得到兩交點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)的和與積，代入向量數(shù)量積等于0求解答案．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
令x=-c，代入橢圓方程得，y=±

b2

a

．
所以

b2 a = 6 3 c=2

，又a²=b²+c²，解得

a= 6 b= 2

．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

6

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=my-3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立直線與橢圓的方程

x2 6 + y2 2 =1 x=my-3

，得（m²+3）y²-6my+3=0，
y1+y2=

6m

m2+3

，y1y2=

3

m2+3

，
由題意可知AF₁⊥BF₁，即kAF1•kBF1=-1，
∴

y1

x1+2

•

y2

x2+2

=

y1y2

(my1-1)(my2-1)

=

y1y2

m2y1y2-m(y1+y2)+1

=-1
整理得：（m²+1）y₁y₂-m（y₁+y₂）+1=0．
∴

3(m2+1)

m2+3

-

6m2

m2+3

+1=0，解得m=±

3

．
代入△=36m²-12（m²+3）=24×3-36=36＞0．
所以直線l的方程為x+

3

y+3=0或x-

3

y+3=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線和橢圓的關(guān)系，直線和圓錐曲線的關(guān)系問(wèn)題，常采用根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)解決，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬有一定難度題目．