Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=pⁿ+q（p≠0且p≠1），求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列的充要條件為q=-1．

Answer 1

分析：充分性：當(dāng)q=-1時，a₁=S₁=p+q=p-1．當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=p^n-1（p-1）．當(dāng)n=1時也成立．于是數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；必要性：當(dāng)n=1時，a₁=S₁=p+q．當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=p^n-1（p-1）．由p≠0，p≠1．知

an+1

an

=

pn(p-1)

pn-1(p-1)

=p．故q=-1．由此得到q=-1是數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列的充要條件．

解答：證明：充分性：當(dāng)q=-1時，a₁=S₁=p+q=p-1．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=p^n-1（p-1）．
當(dāng)n=1時也成立．
于是

an+1

an

=

pn(p-1)

pn-1(p-1)

=p（n∈N₊），
即數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．
必要性：當(dāng)n=1時，a₁=S₁=p+q．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=p^n-1（p-1）．
∵p≠0，p≠1．
∴

an+1

an

=

pn(p-1)

pn-1(p-1)

=p．
∵{a_n}為等比數(shù)列，
∴

a2

a1

=

an+1

an

=p，

p(p-1)

p+q

=p，
即p-1=p+q．∴q=-1．
綜上所述，q=-1是數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列的充要條件．

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，考查充要條件的證明．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．