Question

如圖，圓錐的頂點是S，底面中心為O．OC是與底面直徑AB垂直的一條半徑，D是母線SC的中點．
（1）求證：BC與SA不可能垂直；
（2）設(shè)圓錐的高為4，異面直線AD與BC所成角的余弦值為

2

6

，求圓錐的體積．

Answer 1

分析：（1）法一應(yīng)用反證法，若 BC⊥SA，推出∠SCB是銳角與BC⊥SC矛盾．
法二建立空間直角坐標(biāo)系，求

SA

•

BC

=r2≠ 0說明兩條直線不垂直．
（2）利用空間直角坐標(biāo)系數(shù)量積求出底面半徑，然后求體積．

解答：解：（1）證法一：反證法：若 BC⊥SA，
連AC，由AB是直徑
則AC⊥BC，所以 BC⊥平面SAC
則 BC⊥SC
又圓錐的母線長相等，
∠SCB是等腰三角形SBC的底角，
則∠SCB是銳角
與BC⊥SC矛盾，所以BC與SA不垂直
證法二：建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)圓錐的高為h，
底面半徑為r，
則 B（0，r，0），C（r，0，0），A（0，-r，0）
S（0，0，h），

SA

=(0，-r，-h)， 

BC

=(r，-r，0)，

SA

• 

BC

= r2≠ 0，
所以BC與SA不垂直．

（2）建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)底面半徑為r，
由高為4．則 D（

R

2

，0，2），則

AD

=(

r

2

，r，2)，

BC

=(r，-r，0)
cos＜

AD

，

BC

＞=

- r2 2

2r2 • 4+ 5r2 4

=

-r2

2 • 16+5r2

=

2

6

，
解得  r=2，
所以V=

1

3

πr2h=

16π

3

．

點評：本題考查組合體及旋轉(zhuǎn)體的體積，空間直角坐標(biāo)系，直線與平面所成的角，考查反證法，是中檔題．