Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，側面SAC與底面ABC垂直，E，O分別是SC，AC的中點，SA=SC=

2

，BC=

1

2

AC，∠ASC=∠ACB=90°
（1）若點F在線段BC上，問：無論F在BC的何處，是否都有OE⊥SF？請證明你的結論；
（2）求二面角B-AS-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的性質

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由平面SAC⊥平面ABC，結合面面垂直的性質定理可得BC⊥平面ASC，可得BC⊥OE結合OE⊥SC及線面垂直的判定定理可得：OE⊥平面BSC，再由線面垂直的性質可得無論F在BC的何處，都有OE⊥SF
（2）由（1）中BC⊥平面ASC，可得AS⊥平面BCS，進而AS⊥SB，即∠BSC是二面角B-AS-C的平面角，解Rt△BCS可得二面角B-AS-C的平面角的余弦值．

解答： 解：（1）在△SAB中，
∵OE∥AS，∠ASC=90°
∴OE⊥SC
∵平面SAC⊥平面ABC，∠BCA=90°
∴BC⊥平面ASC，OE?平面ASC
∴BC⊥OE
∴OE⊥平面BSC
∵SF?平面BSC
∴OE⊥SF
∴無論F在BC的何處，都有OE⊥SF         
（2）由（1）BC⊥平面ASC
∴BC⊥AS
又∵∠ASC=90°
∴AS⊥SC
∴AS⊥平面BCS
∴AS⊥SB
∴∠BSC是二面角B-AS-C的平面角
在Rt△BCS中，cos∠BSC=

6

3

∴二面角B-AS-C的平面角的余弦值為

6

3

．

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及其求法，直線與平面垂直的性質，其中（1）的關鍵是熟練掌握空間線面垂直的判定定理，性質定理及幾何特征；（2）的關鍵是構造出二面角的平面角．