已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=logn（n+1）（n≥2，n∈N*）．定義：使乘積a1•a2•a3…ak為正整數(shù)的k（k∈N*）叫做“和諧數(shù)”，則在區(qū)間[1，2010]內(nèi)所有的“和諧數(shù)”的和為


  1. A.
    2048
  2. B.
    4096
  3. C.
    2026
  4. D.
    4083
C
分析：利用an=logn+1（n+2），化簡a1•a2•a3…ak，得k=2m-2，給m依次取值，可得區(qū)間[1，2010]內(nèi)所有和諧數(shù)，然后求和．
解答：an=logn+1（n+2），
∴由a1•a2…ak為整數(shù)得1•log23•log34…log（k+1）（k+2）=log2（k+2）為整數(shù)，
設log2（k+2）=m，則k+2=2m，
∴k=2m-2； 因為211=2048＞2010，
∴區(qū)間[1，2010]內(nèi)所有和諧數(shù)為：22-2，23-2，24-2，…，210-2，
其和M=22-2+23-2+24-2+…+210-2=2026．
故選C．
點評：本題以新定義“和諧數(shù)”為切入點，主要考查了對數(shù)的換底公式及對數(shù)的運算性質(zhì)的應用，屬于中檔試題
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數(shù)列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn；
（3）數(shù)列{an-bn}是否存在最大項，如果存在求出，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項公式
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1
．

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