Question

3．雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)為A（0，$\sqrt{2}$），A點(diǎn)關(guān)于一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)是B（$\sqrt{2}$，0），斜率為2且過點(diǎn)B的直線l交雙曲線C于M，N兩點(diǎn)，求：
（1）雙曲線的方程；
（2）|MN|．

Answer 1

分析 （1）由題意，雙曲線的漸近線方程為y=x，a=b，利用頂點(diǎn)為A（0，$\sqrt{2}$），求出a，即可求出雙曲線的方程；
（2）聯(lián)立直線y=2（x-$\sqrt{2}$），運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，計(jì)算即可得到|MN|．

解答 解：（1）由題意，雙曲線的漸近線方程為y=x，∴a=b，
∵頂點(diǎn)為A（0，$\sqrt{2}$），
∴a=$\sqrt{2}$，
∴雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{2}-\frac{{x}^{2}}{2}$=1；
（2）聯(lián)立雙曲線$\frac{{y}^{2}}{2}-\frac{{x}^{2}}{2}$=1和直線y=2（x-$\sqrt{2}$），
可得3x²-8$\sqrt{2}$x+6=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，x₁x₂=2，
由弦長公式可得|MN|=$\sqrt{1+4}$•$\sqrt{\frac{128}{9}-8}$=$\frac{2}{3}\sqrt{70}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查直線和雙曲線的位置關(guān)系，注意運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．