Question

平面直角坐標系xOy中，過橢圓M：右焦點的直線交于A,B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為.
(Ι)求M的方程；
（Ⅱ）C,D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形面積的最大值

Answer 1

(Ι) （Ⅱ）

(Ι)設(shè)則，，（1）－（2）得：
，因為，設(shè)，因為P為AB的中點，且OP的斜率為，所以，即，所以可以解得，即，即，又因為，所以，所以M的方程為.
（Ⅱ）因為CD⊥AB，直線AB方程為，所以設(shè)直線CD方程為，
將代入得：，即、，所以可得
；將代入得：，設(shè)則
=，又因為，即，所以當時，|CD|取得最大值4，所以四邊形ACBD面積的最大值為.
本題第（Ⅰ）問，屬于中點弦問題,運用設(shè)而不求的數(shù)學思想;第（Ⅱ）問,運用弦長公式求出弦長,然后由面積公式求出面積的最大值.對第（Ⅰ）問，一部分同學想不到設(shè)而不求的思想,容易聯(lián)立方程組求解而走彎路；第（Ⅱ）問,容易出現(xiàn)計算失誤.
【考點定位】本小題考查橢圓的方程的求解、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查數(shù)學中的待定系數(shù)法、設(shè)而不求思想 ，考查同學們的計算能力以及分析問題、解決問題的能力.圓錐曲線是高考的熱點問題,年年必考,熟練本部分的基礎(chǔ)知識是解答好本類問題的關(guān)鍵.