Question

設(shè)函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上滿足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在閉區(qū)間[0，7]上，只有f(1)＝f(3)＝0．

(1)試判斷函數(shù)y＝f(x)的奇偶性；

(2)試求方程f(x)＝0在閉區(qū)間[－2005，2005]上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

解：∵f(x)是R上的奇函數(shù)，且在[0，＋∞]上是增函數(shù)，∴f(x)是R上的增函數(shù)．于是不等式可等價地轉(zhuǎn)化為f(cos2－3)＞f(2mcos－4m)， 　　即cos2－3＞2mcos－4m，即cos2－mcos＋2m－2＞0． 　　設(shè)t＝cos，則問題等價地轉(zhuǎn)化為函數(shù) 　　g(t)＝t2－mt＋2m－2＝(t－)2－＋2m－2在[0，1]上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為 　　函數(shù)g(t)在[0，1]上的最小值為正． 　　∴當＜0，即m＜0時，g(0)＝2m－2＞0m＞1與m＜0不符； 　　當0≤≤1時，即0≤m≤2時，g(m)＝－＋2m－2＞0 　　4－2＜m＜4＋2， 提示：