Question

13．已知函數(shù)f（x）=kx（$\frac{1}{e}$≤x≤e²），與函數(shù)g（x）=（$\frac{1}{e}$）${\;}^{\frac{x}{2}}}$，若f（x）與g（x）的圖象上分別存在點M，N，使得MN關于直線y=x對稱，則實數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{1}{e}$，e]
• B． [-$\frac{2}{e}$，2e]
• C． $（-\frac{2}{e}，2e）$
• D． $[-\frac{3}{e}，3e]$

Answer 1

分析 求出g（x）的反函數(shù)h（x），則g（x）與f（x）的圖象在[$\frac{1}{e}$，e²]上有交點，借助函數(shù)圖象及導數(shù)的幾何意義即可求出k的范圍．

解答 解：g（x）=（$\frac{1}{e}$）${\;}^{\frac{x}{2}}$=（e${\;}^{-\frac{1}{2}}$）^x關于直線y=x的對稱函數(shù)為h（x）=log${\;}_{{e}^{-\frac{1}{2}}}$x=-2lnx，
則y=h（x）與y=f（x）=kx在[$\frac{1}{e}$，e²]上有交點，
作出y=h（x）與y=f（x）在[$\frac{1}{e}$，e²]上的函數(shù)圖象如圖所示：

設y=k₁x經(jīng)過點（$\frac{1}{e}$，2），則k₁=2e，
設y=k₂x與h（x）=-2lnx相切，切點為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{{x}_{0}}={k}_{2}}\\{{k}_{2}{x}_{0}=-2ln{x}_{0}}\end{array}\right.$，解得x₀=e，k₂=-$\frac{2}{e}$．
∴$-\frac{2}{e}$≤k≤2e．
故選B．

點評 本題考查了函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關系，將對稱問題轉化為交點問題是解題關鍵，屬于中檔題．