Question

已知函數(shù)，（ 為常數(shù)，為自然對數(shù)的底）．

（1）當時，求；

（2）若在時取得極小值，試確定的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，設由的極大值構成的函數(shù)為，將換元為，試判斷曲線是否能與直線（為確定的常數(shù)）相切，并說明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）的取值范圍是；（3）曲線不能與直線相切，證明詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）當時，根據(jù)函數(shù)的求導法則求出導函數(shù)，進而可求出；（2）先根據(jù)函數(shù)的求導法則求出導函數(shù)，進而分、、三種情況進行討論，確定哪一種情況才符合在時取得極小值，進而可確定的取值范圍；（3）根據(jù)（2）確定函數(shù)的極大值為，進而得出，該曲線能否與直線相切，就看方程有沒有解，進而轉化為求函數(shù)的最值問題，利用函數(shù)的導數(shù)與最值的關系進行求解判斷即可．

試題解析：（1）當時，，

所以

（2）因為

令，得或

當，即時，恒成立

此時在區(qū)間上單調遞減，沒有極小值；

當，即時， 若，則，若，則

所以是函數(shù)的極小值點

當，即時，若，則．若，則

此時是函數(shù)的極大值點

綜上所述，使函數(shù)在時取得極小值的的取值范圍是

（3）由（2）知當，且時，

因此是的極大值點，極大值為

所以．

令

則恒成立，即在區(qū)間上是增函數(shù)

所以當時，，即恒有

又直線的斜率為

所以曲線不能與直線相切．

考點：1．函數(shù)的求導法則；2．函數(shù)的極值與導數(shù)；3．函數(shù)的單調性與導數(shù)；4．函數(shù)的最值與導數(shù)．