Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）如果當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）求證：（）（說明：）

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）先求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）不等式化為，構(gòu)造新函數(shù)，通過求導得到g（x）的單調(diào)性，求出其最小值，進而求出k的范圍；

（3）根據(jù)（2）成立可得，令得則，讓x取值，累加即可．

（1）因為，，則，

當時，，當時，.

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（2）不等式即為，

記，

所以，

令，則，

∵，∴∴在上單調(diào)遞增，

∴，

從而，故在上也單調(diào)遞增，

所以，所以；

（3）由（2）知：恒成立，

即，

令，則，

所以，，，……

，

疊加得：，

故（）成立.