Question

某校要建一個(gè)面積為450平方米的矩形球場(chǎng)，要求球場(chǎng)的一面利用舊墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成，且在矩形一邊的鋼筋網(wǎng)的正中間要留一個(gè)3米的進(jìn)出口（如圖）．設(shè)矩形的長(zhǎng)為米，鋼筋網(wǎng)的總長(zhǎng)度為米．

（1）列出與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出其定義域；

（2）問矩形的長(zhǎng)與寬各為多少米時(shí)，所用的鋼筋網(wǎng)的總長(zhǎng)度最��？

（3）若由于地形限制，該球場(chǎng)的長(zhǎng)和寬都不能超過(guò)25米，問矩形的長(zhǎng)與寬各為多少米時(shí)，所用的鋼筋網(wǎng)的總長(zhǎng)度最�。�

 

Answer 1

（1）

（2）長(zhǎng)為30米，寬為15米，所用的鋼筋網(wǎng)的總長(zhǎng)度最小.

（3）長(zhǎng)為25米，寬為18米時(shí)，所用的鋼筋網(wǎng)的總長(zhǎng)度最小

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)矩形的面積求出解析式，注意函數(shù)的定義域

（2）利用基本不等式求解，注意等號(hào)成立的條件

（3）利用函數(shù)的單調(diào)性求解（導(dǎo)數(shù)或單調(diào)性定義）

試題解析：（1）矩形的寬為：米

定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720395946544808/SYS201411172040041999335625_DA/SYS201411172040041999335625_DA.005.png">

注：定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720395946544808/SYS201411172040041999335625_DA/SYS201411172040041999335625_DA.006.png">不扣分

（2）

當(dāng)且僅當(dāng) 即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)寬為：米

所以，長(zhǎng)為30米，寬為15米，所用的鋼筋網(wǎng)的總長(zhǎng)度最�。�

（3）法一：，

當(dāng)時(shí)，

在上是單調(diào)遞減函數(shù)

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，長(zhǎng)為25米，寬為米

所以，長(zhǎng)為25米，寬為18米時(shí)，所用的鋼筋網(wǎng)的總長(zhǎng)度最小．

法二：設(shè)，，

則

，

，

在上是單調(diào)遞減函數(shù)

當(dāng)時(shí)，

此時(shí)，長(zhǎng)為25米，寬為米

所以，長(zhǎng)為25米，寬為18米時(shí)，所用的鋼筋網(wǎng)的總長(zhǎng)度最�。�

考點(diǎn)：基本不等式的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性,最值