Question

已知函數f（x）=ln（e^x+a）（a為常數）是R上的奇函數．函數g（x）=λf（x）+sinx是區(qū)間[-1，1]上的減函數．
（1）討論關于x的方程=x²-2ex+m的根的個數．
（2）若g（x）＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ln（e^x+a）是奇函數，∴f（x）+f（-x）=0即ln（e^x+a）+ln（e^-x+a）=0，即（e^x+a）（e^-x+a）=1，整理得a（e^-x+e^x+a）=0恒成立，故a=0 （1分）
又f（x）=x，由=x²-2ex+m得，
令f₁（x）=，f₂（x）=x²-2ex+m…（2分）
則f₁′（x）=，當x∈（0，e）時f₁′（x）＞0，f₁（x）為增函數；當x∈（e，+∞）時f₁′（x）＜0，f₁（x）為減函數，∴當x=e時，f₁（x）的最小值為f₁（e）=
而f₂（x）=x²-2ex+m=（x-e）²-e²+m，結合f₁（x）與f₂（x）的大致圖象可得
當-e²+m＞即 m＞e²+時，方程無實根；當-e²+m=即 m=e²+時，方程有一個實根；當-e²+m＜即 m＜e²+時，方程有兩個實根；
（2）由題意可得：g（x）=λx+sinx，所以g'（x）=λ+cosx，由函數的單調性轉化為：g'（x）=λ+cosx≤0 在[-1，1]上恒成立，進而得到λ≤-1，g（x）_max=-λ-sin1，再轉化為-λ-sin1＜t²+λt+1在λ∈（-∞，-1]上恒成立．∴（t+1）λ+t²+sin1+1＞0在λ∈（-∞，-1]上恒成立．
令h（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1，（λ≤-1）
則，∴，而t＜-1時，t²-t+sin1＞0恒成立，
經檢驗t=-1也對，∴t≤-1
分析：（1）函數f（x）=ln（ex+a）（a為常數）是實數集R上的奇函數，可得出f（x）+f（-x）=0，由此方程恒成立求a．構造兩個函數f₁（x）=，f₂（x）=x²-2ex+m，將方程有根的問題轉化為函數有交點的問題進行研究．
（2）由題意可得：g（x）=λx+sinx，所以g'（x）=λ+cosx，由函數的單調性轉化為：g'（x）=λ+cosx≤0 在[-1，1]上恒成立，進而得到λ≤-1，并且g（x）_max=-λ-sin1，再轉化為-λ-sin1＜t²+λt+1在λ∈（-∞，-1]上恒成立．把λ看為自變量利用一次函數的性質解決問題即可得到答案．
點評：本題考查導數在最大值與最小值問題中的應用，解答本題關鍵是掌握導數與單調性的關系，由函數的單調性判斷出函數的最值，本題中第二問中的恒成立的問題就是一個求最值，利用最值建立不等式的題型，本類題運算量大，且多是符號運算，故解題時要嚴謹認真，避免因運算失誤或變形失誤導致解題失�。�