Question

20．已知函數(shù)f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）圖象的一個對稱中心為（2，0），直線x=x₁，x=x₂是圖象的任意兩條對稱軸，且|x₁-x₂|的最小值3，且f（1）＞f（3）要得到函數(shù)f（x）的圖象可將函數(shù)y=2cosωx的圖象（　�。�

• A． 向右平移$\frac{1}{2}$個單位長度
• B． 向右平移$\frac{π}{6}$個單位長度
• C． 向左平移$\frac{1}{2}$個單位長度
• D． 向左平移$\frac{π}{6}$個單位長度

Answer 1

分析 根據(jù)余弦函數(shù)的圖象的對稱性求得ω和φ的值，可得f（x）的解析式，再利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$），
直線x=x₁，x=x₂是f（x）的圖象的任意兩條對稱軸，且|x₁-x₂|的最小值3，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=3，∴ω=$\frac{π}{3}$．
圖象的一個對稱中心為（2，0），
∴2ω+φ=$\frac{2π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{6}$，∴f（x）=2cos（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{6}$）．
將函數(shù)y=2cosωx=2cos$\frac{π}{3}$x 的圖象向右平移$\frac{1}{2}$個單位長度，
可得y=2cos[$\frac{π}{3}$（x-$\frac{1}{2}$）]=f（x）=2cos（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{6}$）的圖象，
故選：A．

點(diǎn)評 本題主要考查余弦函數(shù)的圖象特征，余弦函數(shù)的圖象的對稱性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．