Question

某項(xiàng)考試按科目A、科目B依次進(jìn)行，只有當(dāng)科目A成績(jī)合格時(shí)，才可繼續(xù)參加科目B的考試．已知每個(gè)科目只允許有一次補(bǔ)考機(jī)會(huì)，兩個(gè)科目成績(jī)均合格方可獲得證書．現(xiàn)某人參加這項(xiàng)考試，科目A每次考試成績(jī)合格的概率均為，科目B每次考試成績(jī)合格的概率均為．假設(shè)各次考試成績(jī)合格與否均互不影響．
（Ⅰ）求他不需要補(bǔ)考就可獲得證書的概率；
（Ⅱ）在這項(xiàng)考試過程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機(jī)會(huì)，記他參加考試的次數(shù)為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

【答案】分析：（1）不需要補(bǔ)考就獲得證書的事件表示科目A第一次考試合格且科目B第一次考試合格，這兩次考試合格是相互獨(dú)立的，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，得到結(jié)果．
（2）參加考試的次數(shù)為ξ，由已知得，ξ=2，3，4，注意到各事件之間的獨(dú)立性與互斥性，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率寫出概率，求出期望．
解答：解：設(shè)“科目A第一次考試合格”為事件A₁，“科目A補(bǔ)考合格”為事件A₂；
“科目B第一次考試合格”為事件B₁，“科目B補(bǔ)考合格”為事件B₂．
（Ⅰ）不需要補(bǔ)考就獲得證書的事件為A₁•B₁，注意到A₁與B₁相互獨(dú)立，
根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率
可得．
即該考生不需要補(bǔ)考就獲得證書的概率為．
（Ⅱ）由已知得，ξ=2，3，4，注意到各事件之間的獨(dú)立性與互斥性，
根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率
可得
=．

=，

=，
∴．
即該考生參加考試次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查概率的基本知識(shí)與分類思想，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題，解決問題的能力對(duì)于概率大家都知道要避免會(huì)而不全的問題，上述問題就是考慮不周全所造成的，所以建議讓學(xué)生一定注重題干中的每一句話，每一個(gè)字的意思．只有這樣才能做到滿分．