Question

如圖，過點（0，a³）（0＜a＜2）的兩直線與拋物線y=-ax²相切于A，B兩點，AD，BC垂直于直線y=-8，垂足分別為D、C，求矩形ABCD面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：設切點為（x，y），則y=-ax²，把點（0，a³）代入切線方程求得x=±a，y=-a³，可得AB=2a，BC=8-a³，所以矩形面積為S=16a-2a⁴（0＜a＜2 ），由S'=16-8a³，可得當時，S有最大值為．
解答：解：設切點為（x，y），則y=-ax²．
因為y'=-2ax，所以切線方程為y-y=-2ax（x-x），即y+ax²=-2ax（x-x），---（2分）
因為切線過點（0，a³），所以a³+ax²=-2ax（0-x），即a³=ax²，于是x=±a．-----（2分）
將代入 y=-ax² 得，y=-a³．-----（2分）
（若設切線方程為y=kx+a³，代入拋物線方程后由△=0得到切點坐標，亦予認可．）
所以AB=2a，BC=8-a³，所以矩形面積為S=16a-2a⁴（0＜a＜2）．----（3分）
于是S'=16-8a³．所以當時，S'＞0；當時，S'＜0；
故當時，S有最大值為．----（3分）
點評：本題主要考查拋物線的標準方程，以及簡單性質的應用，函數在某一點的導數的幾何意義，利用導數判斷函數的單調性，利用單調性求函數的最值．