Question

若f（x）=（m-1）x²+2mx+3是偶函數(shù)，則f（x）在區(qū)間（-3，1）上（ ）
A．單調(diào)遞增
B．單調(diào)遞減
C．先增后減
D．先減后增

Answer 1

【答案】分析：f（x）=（m-1）x²+2mx+3若為偶函數(shù)，則表達式中顯然不能含有一次項2mx，故m=0．此題還需要對該函數(shù)是否是二次函數(shù)進行討論．
解答：解：（1）若m=1，則函數(shù)f（x）=2x+3，則f（-x）=-2x+3≠f（x），此時函數(shù)不是偶函數(shù)，所以m≠1
（2）若m≠1，且函數(shù)f（x）=（m-1）x²+2mx+3是偶函數(shù)，
則 一次項2mx=0恒成立，則 m=0，
因此，函數(shù)為 f（x）=-x²+3，
此函數(shù)圖象是開口向下，以y軸為對稱軸二次函數(shù)圖象．
所以，函數(shù)在區(qū)間（-3，1）的單調(diào)性是先增后減．
點評：函數(shù)奇偶性定義中f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x）），包含兩層意義：
一是x與-x都使函數(shù)有意義，則定義域關(guān)于原點對稱；
二是f（-x）=f（x）圖象關(guān)于y軸對稱，f（-x）=-f（x）圖象關(guān)于原點對稱．