Question

已知函數(shù)．

(Ⅰ)若在上的最大值為，求實(shí)數(shù)的值；

(Ⅱ)若對任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(Ⅲ)在(Ⅰ)的條件下，設(shè)，對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線 上是否存在兩點(diǎn)，使得是以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上？請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）．（Ⅱ）．

（Ⅲ）對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線 上總存在兩點(diǎn)，，使得是以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由，得，

令，得或．

當(dāng)變化時，及的變化如下表：

		-		+		-
		↘	極小值	↗	極大值	↘

由，，，

即最大值為，．                          4分

（Ⅱ）由，得．

，且等號不能同時取，，即 

恒成立，即．                     6分

令，求導(dǎo)得，，

當(dāng)時，，從而，

在上為增函數(shù)，，．          8分

（Ⅲ）由條件，，

假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)，滿足題意，則， 只能在軸兩側(cè)，

不妨設(shè)，則，且．

是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，，

    ，

是否存在，等價(jià)于方程在且時是否有解．            10分

①若時，方程為，化簡得，此方程無解；

②若時，方程為，即，

設(shè)，則，

顯然，當(dāng)時，，

即在上為增函數(shù)，

的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071712000377476278/SYS201307171200538564614521_DA.files/image070.png">，即，當(dāng)時，方程總有解．

對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線 上總存在兩點(diǎn)，，使得是以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上．    14分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值。

點(diǎn)評：難題，在給定區(qū)間，導(dǎo)數(shù)非負(fù)，函數(shù)為增函數(shù)，導(dǎo)數(shù)非正，函數(shù)為減函數(shù)。涉及“不等式恒成立”問題，往往通過構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)加以解決。本題（III）需要分類討論，易于出錯，是叫男的一道題目。