Question

14．已知函數f（x）=x³-ax²-3x．
（Ⅰ）若函數f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數h（x）=2xlnx，對一切x∈（0，+∞），都有h（x）+$\frac{f（x）}{x}$≥-6恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若x=3是函數f（x）的極值點，是否存在實數b，使得函數g（x）=-7x+b的圖象與函數f（x）的圖象恰有1個交點？若存在，請求出實數b的取值范圍，若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先求出函數的導數，然后根據導數與函數單調性的關系進行計算，
（Ⅱ）分離參數，問題轉化為a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$對一切x∈（0，+∞）恒成立，設m（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，（x＞0），根據函數的單調性求出a的范圍即可；
（Ⅲ）f（x）與g（x）恰有1個交點，即f（x）=g（x）有1個根，得到x³-4x²+4x=b有1個根，令F（x）=x³-4x²+4x，F′（x）=3x²-8x+4，求出F（x）的極大值和極小值，從而求出b的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意得f′（x）=3x²-2ax-3，
∵f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數，
∴當x∈[1，+∞）時，恒有f′（x）≥0，
即3x²-2ax-3≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，
由△=4a2+36＞0，$\frac{a}{3}$≤1且f′（1）=-2a≥0，
解得a≤0；
（Ⅱ）∵h（x）+$\frac{f（x）}{x}$≥-6在x∈（0，+∞）恒成立，
即a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$對一切x∈（0，+∞）恒成立，
設m（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，（x＞0），則m′（x）=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$，
令m′（x）＞0，解得：x＞1，令m′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故m（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
m（x）_最小值=m（1）=4，故a≤4；
（Ⅲ）∵x=3是函數f（x）的極值點，
∴f′（3）=0，解得：a=4，
∵f（x）與g（x）恰有1個交點，即f（x）=g（x）有1個根，
∴x³-4x²+4x=b有1個根，
令F（x）=x³-4x²+4x，F′（x）=3x²-8x+4，
令F′（x）＞0，解得：x＞2或x＜$\frac{2}{3}$，令F′（x）＜0，解得：$\frac{2}{3}$＜x＜2，
故F（x）在（-∞，$\frac{2}{3}$）遞增，在（$\frac{2}{3}$，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
∴F（x）_極大值=F（$\frac{2}{3}$）=$\frac{32}{27}$，F（x）_極小值=F（2）=0，
故b＜0或b＞$\frac{32}{27}$．

點評 掌握并會熟練運用導數與函數單調性的關系，會運用導數解決函數的極值和最值問題．