Question

已知f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)，（a＞0且a≠1）
（1）判斷f（x）的奇偶性．
（2）討論f（x）的單調(diào)性．
（3）當x∈[-1，1]時，f（x）≥b恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

（1）∵f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)，
所以f（x）定義域為R，
又f（-x）=

1

a2-1

（a^-x-a^x）=-

1

a2-1

（a^x-a^-x）=-f（x），
所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
（2）任取x₁＜x₂
則f（x₂）-f（x₁）=

1

a2-1

（a^x₂-a^x₁）（1+a^{-（x₁+x₂）}）
∵x₁＜x₂，且a＞0且a≠1，1+a^{-（x₁+x₂）}＞0
①當a＞1時，a²-1＞0，a^x₂-a^x₁＞0，則有f（x₂）-f（x₁）＞0，
②當0＜a＜1時，a²-1＜0．，a^x₂-a^x₁＜0，則有f（x₂）-f（x₁）＞0，
所以f（x）為增函數(shù)；
（3）當x∈[-1，1]時，f（x）≥b恒成立，
即b小于等于f（x）的最小值，
由（2）知當x=-1時，f（x）取得最小值，最小值為

1

a2-1

（

1

a

-a）=-

1

a

，
∴b≤-

1

a

．
求b的取值范圍（-∞，-

1

a

]．